Ce document couvre tout le programme de l'épreuve. Trois chapitres sont traités en profondeur, comme pour un débutant, avec mini-exercices d'exemple : variables aléatoires, géométrie repérée, produit scalaire. Les autres chapitres sont en version condensée : toutes les formules, avec pour chacune une explication courte.
Partie I — Chapitres en version condensée
Partie II — Chapitres en cours complet
Un trinôme du second degré s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole : tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.
C'est le nombre qui détermine combien de solutions a l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ :
| Cas | Solutions de $f(x)=0$ |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | deux racines : $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ |
| $\Delta = 0$ | une racine double : $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | aucune racine réelle |
Si $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation possible (dans $\mathbb{R}$).
Le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines (quand elles existent).
Concrètement, si $\Delta > 0$ et $a > 0$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre. Si $\Delta \le 0$ : toujours du signe de $a$ (jamais de changement de signe, sauf annulation ponctuelle en $x_0$ si $\Delta = 0$).
L'extremum (sommet) est atteint en :
C'est un maximum si $a < 0$ (parabole vers le bas), un minimum si $a > 0$. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$.
Quand $\Delta \ge 0$ : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. C'est la « pente » de la courbe en ce point.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :
(On a besoin de deux nombres : $f(a)$, l'ordonnée du point de contact, et $f'(a)$, la pente.)
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^n$ | $n,x^{n-1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| Fonction | Dérivée | Commentaire |
|---|---|---|
| $u + v$ | $u' + v'$ | on dérive terme à terme |
| $k,u$ | $k,u'$ | la constante multiplicative « sort » |
| $u \times v$ | $u'v + uv'$ | règle du produit |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ | règle du quotient (attention au signe moins) |
| $\dfrac{1}{v}$ | $-\dfrac{v'}{v^2}$ | cas particulier du quotient |
- $f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est croissante sur cet intervalle.
- $f'(x) < 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est décroissante.
- $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ $\Rightarrow$ $f$ admet un extremum local en $a$.
Méthode type bac : (1) calculer $f'$, (2) étudier le signe de $f'$ (souvent un trinôme → discriminant), (3) dresser le tableau de variations, (4) conclure (extremums, résolution graphique…).
Somme des termes :
Cas particulier à connaître : $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Sens de variation : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.
Somme des termes (pour $q \neq 1$) :
(Mnémotechnique : premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.)
Sens de variation (si $u_0 > 0$) : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$.
Évolution en pourcentage : une augmentation de $t,%$ correspond à $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ ; une baisse de $t,%$ à $q = 1 - \dfrac{t}{100}$. (Exemple : $+12,% \to q = 1{,}12$ ; $-5,% \to q = 0{,}95$.)
Situation : $u_{n+1} = a,u_n + b$ (ni arithmétique ni géométrique). L'énoncé fait toujours poser $v_n = u_n - \ell$ où $\ell$ est la solution de $\ell = a\ell + b$. La démarche imposée :
La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$ :
Propriété capitale : $e^x > 0$ pour tout réel $x$. L'exponentielle ne s'annule jamais et n'est jamais négative. C'est ce qui permet de simplifier tous les tableaux de signes où elle apparaît en facteur.
La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Comme l'exponentielle est strictement croissante :
Exemple : $\big(e^{3x}\big)' = 3e^{3x}$ ; $\big(e^{-x}\big)' = -e^{-x}$ ; $\big(e^{x^2}\big)' = 2x,e^{x^2}$.
Pour une fonction du type $f(x) = (\text{polynôme}) \times e^x$ :
La probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé :
($A \cap B$ = « $A$ et $B$ », les deux à la fois.) En la retournant, on obtient la formule très utilisée :
Si $A$ et $\bar{A}$ (l'événement contraire) recouvrent toutes les situations :
C'est la formule qu'on utilise pour « redescendre » de l'arbre : on additionne tous les chemins qui finissent par $B$.
Pour calculer $P_B(A)$ alors que l'arbre donne $P_A(B)$ :
On calcule $P(A \cap B)$ avec le chemin de l'arbre et $P(B)$ avec les probabilités totales.
$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
Pour répondre à « $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? » : calculer séparément $P(A \cap B)$ et $P(A)\times P(B)$, comparer, conclure.
u = u + 3 signifie « la nouvelle valeur de u est l'ancienne plus 3 ». Le = n'est pas une égalité mathématique.def f(x): définit une fonction ; return renvoie le résultat et arrête la fonction.for (nombre de répétitions connu à l'avance)for i in range(1, N + 1):
...range(a, b) parcourt les entiers de a inclus à b exclu. Donc range(1, N+1) donne $1, 2, \dots, N$ ($N$ tours) et range(N) donne $0, 1, \dots, N-1$ ($N$ tours aussi).
Usage typique : calculer les termes successifs d'une suite, ou une somme cumulée (S = S + u).
while (on répète tant qu'une condition est vraie)while u < 1500:
u = u * 1.03
n = n + 1Usage typique au bac : recherche de seuil (« au bout de combien d'années / de mois la quantité dépasse-t-elle telle valeur ? »). La condition du while est toujours « l'objectif n'est pas encore atteint ». La variable compteur (n) donne la réponse.
while).Cercle de centre $O$, de rayon $1$. Pour un réel $x$ (angle en radians) :
Conversion : $180° = \pi$ radians. Donc $90° = \frac{\pi}{2}$, $60° = \frac{\pi}{3}$, $45° = \frac{\pi}{4}$, $30° = \frac{\pi}{6}$.
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $1$ |
(Astuce : la ligne des sinus se lit $\frac{\sqrt 0}{2}, \frac{\sqrt 1}{2}, \frac{\sqrt 2}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}, \frac{\sqrt 4}{2}$ ; la ligne des cosinus est la même à l'envers.)
Usage : connaissant l'un, trouver l'autre — puis choisir le signe grâce à l'intervalle où se trouve $x$ (en haut du cercle, $\sin \ge 0$ ; à droite, $\cos \ge 0$).
Encadrements : $-1 \le \cos(x) \le 1$ et $-1 \le \sin(x) \le 1$ pour tout $x$.
| Transformation | $\cos$ | $\sin$ |
|---|---|---|
| $-x$ | $\cos(-x) = \cos x$ | $\sin(-x) = -\sin x$ |
| $\pi - x$ | $\cos(\pi - x) = -\cos x$ | $\sin(\pi - x) = \sin x$ |
| $\pi + x$ | $\cos(\pi + x) = -\cos x$ | $\sin(\pi + x) = -\sin x$ |
| $\dfrac{\pi}{2} - x$ | $\cos!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ | $\sin!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ |
| $\dfrac{\pi}{2} + x$ | $\cos!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ | $\sin!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ |
(Inutile de tout apprendre par cœur : un croquis du cercle et des symétries permet de les retrouver. Retenir au minimum les trois premières lignes.)
Ajouter ou retirer $2\pi$ (un tour complet) ne change rien : c'est ce qui permet de ramener une solution dans l'intervalle demandé.
Pour $\cos(x) = k$ ou $\sin(x) = k$ sur un intervalle donné :
Imagine une expérience aléatoire : tu lances un dé, tu tires une boule dans une urne, tu joues à un jeu d'argent. Le résultat est imprévisible, mais souvent ce qui nous intéresse n'est pas le résultat brut (« la boule est rouge ») mais un nombre associé à ce résultat (« je gagne 5 euros »).
Une variable aléatoire $X$ est exactement cela : une machine qui associe un nombre à chaque issue de l'expérience.
Exemple concret. Je lance un dé équilibré à 6 faces. Je définis le jeu suivant : si je fais 6, je gagne 10 €, sinon je perds 1 €. La variable aléatoire $X$ est « le gain du joueur ». Elle peut prendre deux valeurs : $10$ (si le dé tombe sur 6) ou $-1$ (dans les cinq autres cas).
Remarque de vocabulaire : on note toujours la variable aléatoire avec une lettre majuscule ($X$, $Y$, $G$…), et l'événement « $X$ prend la valeur $k$ » s'écrit $(X = k)$ ou ${X = k}$.
Donner la loi de probabilité de $X$, c'est répondre à deux questions :
On présente toujours cela dans un tableau :
| $x_i$ (valeurs) | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Règle de cohérence absolue : la somme des probabilités vaut toujours $1$. ```math-display [Formula]
> C'est ta vérification systématique après avoir rempli le tableau (et c'est aussi ce qui permet de trouver une probabilité manquante).
**Reprenons l'exemple du dé.** Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité $\frac16$.
- $P(X = 10) = P(\text{faire un } 6) = \dfrac{1}{6}$
- $P(X = -1) = P(\text{ne pas faire } 6) = \dfrac{5}{6}$
| $x_i$ | $-1$ | $10$ |
|:---:|:---:|:---:|
| $P(X = x_i)$ | $\dfrac{5}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
Vérification : $\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 1$. ✓
## 8.3 — L'espérance : la « moyenne théorique »
### Définition
L'**espérance** de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs possibles, chacune **pondérée par sa probabilité** :
```math-display
[Formula]En clair : on multiplie chaque valeur par sa probabilité, et on additionne tout.
$E(X)$ est la valeur moyenne que prendrait $X$ si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. Pour un jeu d'argent où $X$ est le gain :
Attention au contresens classique : $E(X) = -0{,}30$ € ne signifie PAS « le joueur perd 30 centimes à chaque partie » (à chaque partie il gagne 10 € ou perd 1 €, jamais 30 centimes). Cela signifie : en moyenne, sur un très grand nombre de parties, il perd 30 centimes par partie.
Avec le jeu du dé ci-dessus ($X = -1$ avec probabilité $\frac56$, $X = 10$ avec probabilité $\frac16$), calculer $E(X)$ et dire si le jeu est favorable au joueur.
Solution détaillée. On applique la formule : chaque valeur multipliée par sa probabilité, puis on somme.
$E(X) = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83 > 0$ : le jeu est favorable au joueur. En moyenne, sur un grand nombre de parties, il gagne environ 83 centimes par partie.
Deux jeux peuvent avoir la même espérance mais être très différents : l'un fait gagner ou perdre de petites sommes, l'autre de très grosses. La variance mesure à quel point les valeurs de $X$ sont dispersées autour de l'espérance. Plus la variance est grande, plus le jeu est « risqué » / les valeurs éloignées de la moyenne.
Définition de la variance :
(moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance). En pratique, on utilise presque toujours la formule équivalente, plus rapide (formule de König-Huygens) :
où $E(X^2) = x_1^2,p_1 + x_2^2,p_2 + \dots$ (on élève chaque valeur au carré, on garde les probabilités telles quelles).
Piège classique : $E(X^2)$ et $\big(E(X)\big)^2$ sont deux choses différentes. Dans le premier, on met au carré les valeurs avant de faire la moyenne ; dans le second, on fait la moyenne puis on met au carré. La variance est justement la différence des deux.
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
Son intérêt : il s'exprime dans la même unité que $X$ (des euros si $X$ est en euros), contrairement à la variance (qui serait en « euros au carré »). Une variance est toujours positive ou nulle.
Toujours avec le même jeu, calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Solution détaillée.
Étape 1 : calculer $E(X^2)$. On élève chaque valeur au carré ($(-1)^2 = 1$ et $10^2 = 100$), on garde les probabilités :
Étape 2 : on connaît $E(X) = \dfrac56$, donc $\big(E(X)\big)^2 = \dfrac{25}{36}$.
Étape 3 : formule de König-Huygens. On met tout au même dénominateur ($36$) : $\dfrac{35}{2} = \dfrac{630}{36}$.
Étape 4 : l'écart-type. $605 = 121 \times 5$ et $121 = 11^2$, donc $\sqrt{605} = 11\sqrt 5$ :
Interprétation : l'écart-type est grand par rapport à l'espérance ($0{,}83$) — le jeu est très dispersé, donc « risqué » : on est en général loin du gain moyen.
Si on transforme $X$ par $aX + b$ ($a$ et $b$ réels) :
Deux choses à retenir : l'espérance « suit » la transformation telle quelle ; mais la variance ignore le $+b$ (décaler toutes les valeurs ne change pas leur dispersion) et fait sortir le $a$ au carré.
Exemple d'usage type bac : « l'organisateur double les gains et ajoute 1 € » $\to$ $Y = 2X + 1$, donc $E(Y) = 2E(X) + 1$ sans tout recalculer.
Toute la géométrie repérée se déroule dans un repère orthonormé $(O,;\vec i, \vec j)$ : deux axes perpendiculaires avec la même unité de longueur. Chaque point du plan est repéré par deux nombres, son abscisse $x$ (position horizontale) et son ordonnée $y$ (position verticale).
Pourquoi « orthonormé » est important : toutes les formules de longueur et de produit scalaire qui suivent ne sont valables que dans ce type de repère. (Au bac, c'est toujours précisé dans l'énoncé, et c'est toujours le cas.)
Un vecteur $\vec u$ représente un déplacement : une direction, un sens, une longueur. Ses coordonnées $\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ indiquent le déplacement horizontal puis vertical.
Formule « arrivée moins départ » : pour deux points $A(x_A,;y_A)$ et $B(x_B,;y_B)$, ```math-display [Formula]
L'ordre est crucial : pour $\overrightarrow{AB}$, on part de $A$ (départ, deuxième dans la soustraction) vers $B$ (arrivée, premier dans la soustraction).
**Mini-exemple.** $A(1\,;3)$ et $B(4\,;1)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$. Lecture : pour aller de $A$ à $B$, on se déplace de 3 vers la droite et de 2 vers le bas.
### Opérations sur les vecteurs
Pour $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :
```math-display
[Formula]Deux vecteurs sont colinéaires (même direction, donc parallèles) si et seulement si leur déterminant est nul :
Usages : montrer que deux droites sont parallèles, ou que trois points sont alignés ($A$, $B$, $C$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires).
Mini-exemple. $\vec u\begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} 4 \ 6 \end{pmatrix}$ : $\det = 2\times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$, donc colinéaires (logique : $\vec v = 2\vec u$).
Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées :
C'est le théorème de Pythagore appliqué dans le repère : le déplacement horizontal et le déplacement vertical sont les deux côtés de l'angle droit, la distance $AB$ est l'hypoténuse. Penser à simplifier les racines : $\sqrt{20} = 2\sqrt 5$, $\sqrt{45} = 3\sqrt 5$, $\sqrt{8} = 2\sqrt 2$…
$A(-1,;2)$ et $B(3,;5)$. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et la distance $AB$.
Solution détaillée.
Milieu : $x_I = \dfrac{-1 + 3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ et $y_I = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2}$. Donc $I\left(1,;\dfrac72\right)$.
Distance : d'abord le vecteur, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 3 \end{pmatrix}$. Attention au double signe : $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$. Puis :
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui « suit » sa direction. À connaître :
(« la différence des $y$ sur la différence des $x$ » : combien on monte quand on avance de 1.)
Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ avec $A(1,;2)$ et $B(3,;8)$.
Solution détaillée.
Coefficient directeur :
La droite a une équation de la forme $y = 3x + p$. Elle passe par $A(1,;2)$, donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation :
Équation : $y = 3x - 1$. (Vérification avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$ ✓.)
Le cercle de centre $\Omega(a,;b)$ et de rayon $R$ a pour équation :
D'où elle vient : un point $M(x,;y)$ est sur le cercle si et seulement si $\Omega M = R$, c'est-à-dire $\Omega M^2 = R^2$ ; on développe la formule de distance et c'est exactement l'équation ci-dessus.
Pièges de lecture : dans $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, le centre est $(3,;-2)$ (les signes s'inversent : $y + 2 = y - (-2)$) et le rayon est $R = \sqrt{25} = 5$ (le membre de droite est $R^{\mathbf{2}}$, pas $R$).
On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point dans le membre de gauche : si on retrouve $R^2$, le point est sur le cercle.
Propriété liée, à connaître : un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ (avec $M \neq A, B$) si et seulement si le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ — autrement dit si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$.
Si l'équation est donnée développée, par exemple $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$, on complète les carrés :
L'équation devient $(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 3 = 0$, soit $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$. Centre $(2,;-3)$, rayon $4$.
(La recette de la complétion du carré : $x^2 + \alpha x = \left(x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 - \frac{\alpha^2}{4}$ — on coupe le coefficient en deux, on retranche son carré.)
Déterminer l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(0,;1)$ et $B(4,;4)$.
Solution détaillée.
Centre = milieu de $[AB]$ : $\Omega\left(\dfrac{0+4}{2},;\dfrac{1+4}{2}\right) = \Omega\left(2,;\dfrac52\right)$.
Rayon = moitié de $AB$. On calcule $AB$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \ 3 \end{pmatrix}$, donc $AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$, d'où $R = \dfrac52$.
Équation : $(x - 2)^2 + \left(y - \dfrac52\right)^2 = \left(\dfrac52\right)^2 = \dfrac{25}{4}$.
Le produit scalaire est une opération qui prend deux vecteurs et renvoie un nombre (un « scalaire », d'où le nom — pas un vecteur !). On le note $\vec u \cdot \vec v$.
Ce nombre mesure, en gros, à quel point les deux vecteurs pointent dans la même direction :
Tout l'intérêt du produit scalaire est là : il transforme des questions de géométrie (angles droits, angles quelconques, longueurs) en questions de calcul sur des coordonnées.
Il existe trois expressions équivalentes. Selon les données de l'énoncé, on choisit la plus adaptée — c'est tout l'art de l'exercice.
En repère orthonormé, pour $\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}$ :
On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne. (À ne pas confondre avec le déterminant $xy' - yx'$, qui sert à la colinéarité : produit scalaire = orthogonalité, déterminant = colinéarité.)
À utiliser quand : on a les coordonnées des points (cas le plus fréquent au bac).
Pour des vecteurs issus de points : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\big(\widehat{BAC}\big)$.
À utiliser quand : on connaît (ou on cherche) un angle. C'est la formule qui sert à calculer $\cos\big(\widehat{BAC}\big)$ quand on a tout le reste.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ (le pied de la perpendiculaire abaissée depuis $C$) :
À utiliser quand : l'exercice est posé sur une figure géométrique (carré, rectangle) sans repère, avec des projections évidentes.
À utiliser quand : on ne connaît que des longueurs (les trois côtés d'un triangle, par exemple), via la variante triangle : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\big(AB^2 + AC^2 - BC^2\big)$.
Le produit scalaire se manipule presque comme un produit ordinaire :
Et le lien fondamental avec la norme :
On en déduit des identités remarquables version vecteurs :
[Formula]
[Formula]
C'est l'équivalence centrale du chapitre. Toutes ces questions du bac s'y ramènent :
- « Montrer que le triangle est **rectangle en $A$** » $\to$ calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et montrer qu'il vaut $0$.
- « Montrer que les droites sont **perpendiculaires** » $\to$ produit scalaire de leurs vecteurs directeurs $= 0$.
- « Montrer que $(d)$ est la **hauteur** issue de… », « que $M$ est sur le cercle de diamètre… » $\to$ encore un produit scalaire nul.
### Mini-exercice d'exemple
> $A(0\,;0)$, $B(3\,;1)$, $C(-1\,;3)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
**Solution détaillée.**
On calcule les deux vecteurs issus de $A$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Produit scalaire avec la formule des coordonnées :
```math-display
[Formula]Le produit scalaire est nul, donc $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
C'est l'autre grande application. La méthode, toujours la même :
$A(0,;0)$, $B(4,;0)$, $C(3,;3)$. Calculer $\cos\big(\widehat{BAC}\big)$.
Solution détaillée.
Étape 1 — vecteurs et produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \ 3 \end{pmatrix}$.
Étape 2 — longueurs :
Étape 3 — on isole le cosinus :
Étape 4 — on rationalise (on multiplie haut et bas par $\sqrt 2$) :
(On reconnaît d'ailleurs une valeur remarquable : l'angle vaut $\dfrac{\pi}{4}$, soit $45°$ — cohérent avec la figure, $\overrightarrow{AC}$ étant sur la diagonale.)
| Données de l'énoncé | Formule à utiliser |
|---|---|
| Coordonnées de points | $xx' + yy'$ |
| Longueurs et angle connus (ou angle cherché) | $|\vec u|,|\vec v|\cos(\vec u,\vec v)$ |
| Figure avec projections évidentes (carré, rectangle) | projeté orthogonal |
| Seulement les trois longueurs d'un triangle | $\frac12\big(AB^2 + AC^2 - BC^2\big)$ |
| Question « rectangle / perpendiculaire / orthogonal » | montrer que le produit scalaire vaut $0$ |
Les trois chapitres détaillés (variables aléatoires, géométrie repérée, produit scalaire) se résument chacun à un petit nombre de réflexes :
Pour t'entraîner sur tout cela, les 24 exercices corrigés du fichier précédent suivent exactement ces méthodes. Bonne révision, et bon courage pour demain.