24 exercices originaux type bac, sans calculatrice, calibrés sur les sujets 2026 (Amérique du Nord + sujets zéro).
Partie A — Les chapitres qui tombent à chaque fois (3 exercices chacun)
Partie B — Le reste (2 exercices chacun)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
Calculer le discriminant $\Delta$ de $f$, puis déterminer les racines de $f$.
Un trinôme du second degré s'écrit sous la forme générale $ax^2 + bx + c$. Ici on identifie les trois coefficients en regardant terme à terme :
Attention au signe de $b$ : le terme est $-7x$, donc $b = -7$ (pas $7$). C'est l'erreur la plus fréquente.
Le discriminant se calcule avec la formule $\Delta = b^2 - 4ac$. On remplace :
Comme $\Delta = 25 > 0$, le trinôme admet deux racines distinctes. On les calcule avec :
Ici $\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5$ (c'est pour ça qu'on a choisi $\Delta = 25$ : c'est un carré parfait, donc la racine est entière et on s'en sort sans calculatrice). On remplace, en faisant attention que $-b = -(-7) = +7$ :
Les deux racines sont $x_1 = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = 3$.
En déduire la forme factorisée de $f(x)$.
Quand un trinôme $ax^2 + bx + c$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$, il peut toujours s'écrire sous forme factorisée :
Le point que beaucoup oublient : il faut garder le coefficient $a$ devant ! Ici $a = 2$, donc :
On peut laisser comme ça, mais c'est plus élégant de faire « rentrer » le $2$ dans la première parenthèse, car $2\left(x - \tfrac12\right) = 2x - 1$ :
Vérification rapide (toujours utile) : on développe pour retomber sur l'énoncé.
C'est bien $f(x)$ : la factorisation est correcte.
Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Il y a deux méthodes, je te donne la plus sûre (celle du cours sur le second degré) puis je la confirme.
Méthode "règle du signe de $aquot; : un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. Ici $a = 2 > 0$, donc :
On range toujours les racines dans l'ordre croissant : $\tfrac12$ d'abord, puis $3$.
| Intervalle | $\left]-\infty,;,\tfrac12\right[$ | $\left]\tfrac12,;,3\right[$ | $\left]3,;,+\infty\right[$ |
|---|---|---|---|
| Signe de $f(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ |
Aux valeurs $x = \tfrac12$ et $x = 3$, $f(x) = 0$ (ce sont les racines).
Confirmation par la forme factorisée $f(x) = (2x-1)(x-3)$ : c'est un produit de deux facteurs du premier degré. Le facteur $2x-1$ s'annule en $\tfrac12$ et est positif après ; le facteur $x-3$ s'annule en $3$ et est positif après. On fait le produit des signes ligne par ligne et on retrouve exactement le même résultat.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
Résoudre $f(x) \leqslant 0$, c'est chercher toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est négatif OU nul. On lit directement la réponse dans le tableau de signes de la question 3.
D'après le tableau, $f(x)$ est négatif sur l'intervalle entre les racines. Le symbole est $\leqslant$ (inférieur ou égal), donc on inclut les valeurs qui annulent $f$, c'est-à-dire $\tfrac12$ et $3$. On utilise donc des crochets fermés $[\ ]$ aux bornes :
Petit réflexe à avoir : si l'inéquation avait été $f(x) < 0$ (strictement), on aurait mis des crochets ouverts $\left]\tfrac12;3\right[$ pour exclure les bornes. Le sens des crochets dépend uniquement de la présence ou non du « ou égal ».
On pose $g(x) = (x+1),f(x)$. Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
On remplace $f(x)$ par sa forme factorisée. Ainsi :
C'est maintenant un produit de trois facteurs du premier degré. Pour étudier le signe d'un produit, on fait un grand tableau de signes : une ligne par facteur, puis une ligne pour le produit où on applique la règle des signes (le produit est positif quand il y a un nombre pair de facteurs négatifs).
D'abord on cherche où chaque facteur s'annule, c'est-à-dire les valeurs « interdites » qui délimitent les colonnes :
On range ces trois valeurs dans l'ordre croissant : $-1 < \tfrac12 < 3$. Cela découpe $\mathbb{R}$ en quatre intervalles.
| Intervalle | $]-\infty;-1[$ | $]-1;\tfrac12[$ | $]\tfrac12;3[$ | $]3;+\infty[$ |
|---|---|---|---|---|
| Signe de $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $2x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $x-3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| Signe de $g(x)$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |
Pour obtenir la dernière ligne, je compte les signes « $-$ » dans chaque colonne :
Conclusion : $g(x)$ est positif sur $]-1;\tfrac12[ \cup, ]3;+\infty[$, négatif sur $]-\infty;-1[,\cup,]\tfrac12;3[$, et nul en $-1$, $\tfrac12$ et $3$.
Un éleveur veut construire un enclos rectangulaire le long d'un mur. Le mur sert de quatrième côté, donc il n'a besoin de clôture que pour trois côtés : les deux largeurs (de longueur $x$ mètres chacune) et la longueur opposée au mur. Il dispose de 40 mètres de clôture au total.
On note $x$ la largeur de l'enclos (en mètres) et $A(x)$ son aire (en mètres carrés).
Justifier que la longueur de l'enclos est $40 - 2x$, puis que $A(x) = -2x^2 + 40x$.
On a trois côtés à clôturer : deux largeurs et une longueur. Les deux largeurs mesurent $x$ chacune, elles consomment donc $2x$ mètres de clôture. Comme on a $40$ mètres en tout, il reste pour la longueur :
La longueur de l'enclos est donc bien $40 - 2x$.
L'aire d'un rectangle est « largeur $\times$ longueur ». La largeur est $x$, la longueur est $40 - 2x$, donc :
On développe en distribuant le $x$ :
On retrouve bien $\boxed{A(x) = -2x^2 + 40x}$. (On l'écrit avec le terme en $x^2$ en premier, par convention.)
Préciser entre quelles valeurs $x$ peut varier.
$x$ est une longueur, donc elle doit être positive : $x > 0$ (ou $x \geqslant 0$ si on accepte le cas dégénéré).
Mais il y a une deuxième contrainte qu'on oublie souvent : la longueur $40 - 2x$ doit elle aussi être positive, sinon l'enclos n'a pas de sens. On résout :
En combinant les deux contraintes, $x$ varie dans l'intervalle :
Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant $A$.
$A(x) = -2x^2 + 40x$ est un trinôme avec $a = -2$, $b = 40$, $c = 0$. Sa courbe est une parabole. Comme $a = -2 < 0$, la parabole est « tournée vers le bas » (branches vers le bas), donc elle admet un maximum à son sommet.
L'abscisse du sommet est donnée par la formule $x_S = -\dfrac{b}{2a}$. On remplace :
L'ordonnée du sommet est l'image de cette abscisse, c'est-à-dire $A(10)$ :
Le sommet a pour coordonnées $S(10,;,200)$.
En déduire la largeur $x$ qui rend l'aire maximale, ainsi que cette aire maximale.
Le sommet d'une parabole tournée vers le bas correspond au point le plus haut : c'est donc là que l'aire est maximale.
D'après la question 3, le sommet est en $x = 10$, et l'ordonnée correspondante est $200$. De plus, $x = 10$ appartient bien à l'intervalle autorisé $]0;20[$, donc la solution est valable.
Conclusion : l'aire est maximale pour une largeur $x = 10$ mètres, et cette aire maximale vaut $\boxed{200 \text{ m}^2}$.
(Pour la culture : la longueur vaut alors $40 - 2\times 10 = 20$ m. L'enclos optimal mesure donc $10\times 20$.)
Donner la forme canonique de $A(x)$.
La forme canonique d'un trinôme s'écrit $a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $(\alpha,;,\beta)$ sont précisément les coordonnées du sommet. C'est tout l'intérêt : on a déjà tout calculé à la question 3 !
Ici $a = -2$, $\alpha = 10$ et $\beta = 200$. Donc :
Vérification par développement :
On retrouve bien $A(x)$, la forme canonique est correcte.
On considère la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
Déterminer les racines du trinôme $x^2 + 2x - 3$.
On identifie les coefficients de $x^2 + 2x - 3$ : $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$.
Discriminant :
Attention au double signe « moins » : $-4 \times 1 \times (-3) = +12$ (moins par moins donne plus).
$\Delta = 16 > 0$, donc deux racines. $\sqrt{16} = 4$ :
Les racines sont $-3$ et $1$.
Astuce (facultative) : on pouvait aussi remarquer que $1$ est racine évidente — $1 + 2 - 3 = 0$ — puis utiliser le produit des racines $x_1 x_2 = \tfrac{c}{a} = -3$ pour trouver l'autre racine $-3$. Mais la méthode du discriminant marche toujours.
En déduire la forme factorisée de $x^2 + 2x - 3$.
Avec $a = 1$ et les racines $-3$ et $1$, la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ donne :
Fais bien attention au signe : la racine est $-3$, donc le facteur est $x - (-3) = x + 3$. C'est un piège classique de noter $(x-3)$ par erreur.
Étudier le signe de $-2x + 6$ sur $\mathbb{R}$.
$-2x + 6$ est une expression du premier degré (de la forme $mx + p$ avec $m = -2$, $p = 6$). On cherche d'abord où elle s'annule :
Ensuite, le signe dépend du coefficient devant $x$, ici $m = -2$. Quand ce coefficient est négatif, l'expression est positive AVANT la valeur d'annulation et négative APRÈS (c'est l'inverse du cas habituel).
| Intervalle | $]-\infty,;,3[$ | $]3,;,+\infty[$ |
|---|---|---|
| Signe de $-2x+6$ | $+$ | $-$ |
Pour vérifier sans réfléchir au sens, on teste une valeur : en $x = 0$, $-2(0)+6 = 6 > 0$. Et $0 < 3$, donc c'est bien positif avant $3$. ✓
Dresser le tableau de signes complet de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$.
En remplaçant le trinôme par sa forme factorisée (question 2), on a :
C'est un produit de trois facteurs. Les valeurs qui annulent chaque facteur sont $3$, $-3$ et $1$. Rangées dans l'ordre croissant : $-3 < 1 < 3$.
| Intervalle | $]-\infty;-3[$ | $]-3;1[$ | $]1;3[$ | $]3;+\infty[$ |
|---|---|---|---|---|
| Signe de $-2x+6$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ |
| Signe de $x+3$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $P(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ |
Détail de la dernière ligne (produit des signes de chaque colonne) :
Attention à la ligne de $-2x+6$ : son signe « bascule » à $x=3$ et c'est le seul facteur qui est positif au début puis négatif (à cause du coefficient $-2$). C'est ce qui rend ce tableau un peu piégeux.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x) \geqslant 0$.
On cherche où $P(x)$ est positif ou nul. D'après le tableau, $P(x)$ est positif sur $]-\infty;-3[$ et sur $]1;3[$. Comme l'inéquation est $\geqslant 0$ (avec le « ou égal »), on inclut aussi les valeurs qui annulent $P$, c'est-à-dire $-3$, $1$ et $3$.
On obtient donc une réunion de deux intervalles, en fermant les crochets sur les racines :
Remarque sur la borne $-\infty$ : on met toujours un crochet ouvert vers l'infini, car l'infini n'est jamais une valeur atteinte.
Remarque : à l'épreuve, ces exercices s'accompagnent d'un graphique. Ici, comme on est dans un document texte, je te donne toutes les informations qu'on lirait sur la courbe sous forme de données précises. Tu raisonnes exactement de la même façon que devant un dessin.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-1,;,5]$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Voici les informations lues sur le graphique :
Donner les valeurs de $f(0)$ et $f(2)$.
$f(0)$ est l'ordonnée du point de la courbe dont l'abscisse est $0$. Le point $A(0,;,3)$ est sur la courbe et a pour abscisse $0$, donc son ordonnée $3$ est exactement $f(0)$ :
De même, $f(2)$ se lit grâce au point $B(2,;,-1)$ : abscisse $2$, ordonnée $-1$, donc :
Le réflexe : « $f(\text{abscisse}) = \text{ordonnée du point correspondant}$ ».
Donner la valeur de $f'(2)$. Justifier.
Le nombre dérivé $f'(a)$ représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. C'est la définition géométrique fondamentale du nombre dérivé, et c'est ça qu'il faut avoir en tête.
L'énoncé dit que la tangente au point $B$ (abscisse $2$) est horizontale. Or une droite horizontale a un coefficient directeur nul (elle ne monte ni ne descend). Donc :
(Information utile pour la suite : un point où la tangente est horizontale est souvent un extremum, ici un minimum puisque la courbe « descend puis remonte » autour de $B$.)
Déterminer la valeur de $f'(0)$.
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$. On connaît deux points de cette tangente : le point $A(0,;,3)$ et le point $(1,;,0)$ donné dans l'énoncé.
Le coefficient directeur d'une droite passant par deux points $(x_1,;,y_1)$ et $(x_2,;,y_2)$ se calcule avec :
On prend $A(0,;,3)$ et $(1,;,0)$ :
Donc $f'(0) = -3$. Le signe négatif est cohérent : la courbe « descend » au voisinage de $A$ (elle va de l'ordonnée $3$ vers le minimum en $B$).
En déduire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est, dans le cours :
Ici on travaille au point $A$ d'abscisse $a = 0$. On a déjà tout :
On remplace $a$ par $0$ :
L'équation de la tangente en $A$ est $y = -3x + 3$.
On peut vérifier : cette droite passe-t-elle par $(1;0)$ ? On remplace $x=1$ : $-3(1)+3 = 0$ ✓. Et par $A(0;3)$ ? $-3(0)+3 = 3$ ✓. Parfait.
Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 3$ sur $[-1,;,5]$.
Résoudre graphiquement $f(x) = 3$, c'est chercher combien de points de la courbe $\mathcal{C}_f$ ont une ordonnée égale à $3$. Concrètement, on imagine la droite horizontale d'équation $y = 3$ et on compte combien de fois elle coupe la courbe.
D'après les informations : la courbe part de l'abscisse $-1$, passe par $A(0;3)$ (donc une première fois à hauteur $3$), descend jusqu'au minimum $B(2;-1)$, puis remonte et repasse par $D(4;3)$ (donc une deuxième fois à hauteur $3$).
On a donc au moins deux points d'ordonnée $3$ : $A$ et $D$. Entre $-1$ et $0$ la courbe arrive à $A$ par le haut (elle descend vers $A$), et après $4$ elle continue éventuellement, mais les seuls points cités à hauteur $3$ sont $A$ et $D$.
L'équation $f(x) = 3$ admet donc $2$ solutions sur $[-1;5]$ : $x = 0$ et $x = 4$.
Une petite entreprise fabrique des objets. Pour une production de $x$ centaines d'objets ($0 \leqslant x \leqslant 10$), on lit sur un graphique la courbe de recette $R(x)$ et la droite de coût $C(x)$ (montants en milliers d'euros). Informations lues :
Le bénéfice est défini par $B(x) = R(x) - C(x)$.
Déterminer l'expression de $C(x)$ (la droite de coût).
$C$ est représentée par une droite, donc $C(x)$ est de la forme $C(x) = mx + p$ (fonction affine). On connaît deux points : $(0,;,2)$ et $(10,;,12)$.
Le coefficient directeur $m$ se calcule avec la formule des deux points :
L'ordonnée à l'origine $p$ est l'ordonnée du point dont l'abscisse est $0$. Le point $(0,;,2)$ a pour abscisse $0$, donc $p = 2$.
Conclusion : $\boxed{C(x) = x + 2}$.
Vérification avec le second point : $C(10) = 10 + 2 = 12$ ✓.
Par lecture graphique, déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif.
Le bénéfice est $B(x) = R(x) - C(x)$. Dire que le bénéfice est positif signifie $B(x) > 0$, c'est-à-dire $R(x) - C(x) > 0$, donc :
Graphiquement, $R(x) > C(x)$ veut dire que la courbe de recette est au-dessus de la droite de coût. On regarde donc sur quel intervalle la courbe rouge (recette) est plus haute que la droite (coût).
Les deux courbes se croisent en $x = 1$ et $x = 8$ (points donnés). Entre ces deux abscisses, la recette part vers son maximum $(5;15)$, bien au-dessus du coût : la courbe de recette est donc au-dessus du coût sur $]1,;,8[$. En dehors (avant $1$ et après $8$), c'est l'inverse.
Le bénéfice est positif pour une production comprise entre $1$ et $8$ centaines d'objets, soit $x \in\ ]1,;,8[$.
Que vaut le bénéfice quand $x = 1$ ? Interpréter.
En $x = 1$, les deux courbes se croisent (c'est un des points d'intersection donnés). À un point d'intersection, la recette et le coût sont égaux : $R(1) = C(1)$.
Donc :
Le bénéfice est nul pour $x = 1$.
Interprétation : produire $100$ objets ($x = 1$ centaine) correspond à un seuil de rentabilité. À ce niveau, l'entreprise ne gagne ni ne perd d'argent : ce qu'elle encaisse couvre exactement ce qu'elle dépense. C'est le moment où elle commence tout juste à devenir bénéficiaire.
À l'aide du graphique, donner la production pour laquelle la recette est maximale, et la recette correspondante.
La recette maximale correspond au point le plus haut de la courbe de recette. L'énoncé indique que la courbe atteint son maximum au point $(5,;,15)$.
⚠️ Ne pas confondre « recette maximale » et « bénéfice maximal » : ce n'est pas forcément la même production ! Ici la question porte bien sur la recette seule.
Deux opérateurs proposent un forfait téléphonique. Le prix payé dépend du nombre $x$ de minutes d'appel par mois.
Calculer le prix de chaque forfait pour $100$ minutes d'appel.
On remplace $x$ par $100$ dans chaque fonction.
Forfait A :
Forfait B :
Pour $100$ minutes, les deux forfaits coûtent $30$ €. C'est exactement le même prix — on devine déjà que $100$ minutes est le point de bascule entre les deux offres.
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$ et interpréter le résultat.
$f(x) \leqslant g(x)$ signifie « le forfait A coûte moins cher (ou autant) que le forfait B ». On résout l'inéquation pas à pas.
On regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre. Je retire $0{,}10,x$ des deux côtés et je retire $5$ des deux côtés :
Maintenant je divise les deux membres par $0{,}15$. C'est un nombre positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas (point crucial : on n'inverse le sens que si on divise par un négatif) :
Le calcul $\tfrac{15}{0{,}15}$ se fait sans calculatrice en remarquant que $\tfrac{15}{0{,}15} = \tfrac{1500}{15} = 100$.
Solution : $x \geqslant 100$. Interprétation : le forfait A est plus avantageux dès que l'on appelle au moins $100$ minutes par mois. En dessous de $100$ minutes, c'est le forfait B le moins cher.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Le point d'intersection est le point où les deux droites se rencontrent, c'est-à-dire où les deux fonctions ont la même valeur : $f(x) = g(x)$. On résout l'équation (comme l'inéquation de la question 2, mais avec un « égal ») :
L'abscisse du point d'intersection est donc $100$. Pour l'ordonnée, on calcule l'image de $100$ par l'une ou l'autre des fonctions (elles donnent le même résultat puisqu'on est au point d'intersection). On l'a déjà fait en question 1 : $f(100) = 30$.
Le point d'intersection a pour coordonnées $(100,;,30)$.
Un client appelle environ $80$ minutes par mois. Quel forfait lui conseiller ?
$80$ minutes, c'est moins que $100$ minutes. D'après la question 2, le forfait A est plus avantageux seulement à partir de $100$ minutes. En dessous de ce seuil, c'est donc le forfait B le moins cher.
Vérifions en calculant les deux prix pour $80$ minutes :
$25 < 28$, donc le forfait B coûte effectivement moins cher.
On conseille le forfait B à ce client (il économise $3$ € par mois).
On considère deux suites définies pour tout entier naturel $n$ :
Préciser la nature de chaque suite et donner sa raison. Calculer $u_1, u_2$ et $v_1, v_2$.
Suite $(u_n)$ : la relation $u_{n+1} = u_n + 4$ signifie qu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $4$. C'est exactement la définition d'une suite arithmétique, de raison $r = 4$.
On calcule :
Suite $(v_n)$ : la relation $v_{n+1} = 2,v_n$ signifie qu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $2$. C'est la définition d'une suite géométrique, de raison $q = 2$.
On calcule :
Le point clé pour distinguer les deux : arithmétique = on ajoute (raison notée $r$), géométrique = on multiplie (raison notée $q$).
Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
Il s'agit des formules explicites, qui permettent de calculer n'importe quel terme directement, sans calculer tous les précédents.
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, la formule du cours est :
Ici $u_0 = 3$ et $r = 4$, donc :
Pour une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$, la formule est :
Ici $v_0 = 3$ et $q = 2$, donc :
Bien noter la différence de structure : dans l'arithmétique le $n$ multiplie la raison, dans la géométrique le $n$ est en exposant.
Calculer $u_{20}$ et $v_8$.
On utilise les formules explicites de la question 2.
Il faut connaître $2^8$. On le construit de tête : $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$. Donc :
$u_{20} = 83$ et $v_8 = 768$.
On remarque au passage que la suite géométrique « explose » beaucoup plus vite que l'arithmétique : c'est typique d'une croissance multiplicative.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.
C'est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique. La formule du cours pour une telle somme est :
Étape 1 — compter les termes. On va de $u_0$ à $u_{10}$. Le nombre de termes est $10 - 0 + 1 = 11$ (attention : il faut bien ajouter $1$, car on compte $u_0$ ET $u_{10}$ et tous ceux entre les deux).
Étape 2 — le premier et le dernier terme. Premier terme : $u_0 = 3$. Dernier terme : $u_{10} = 3 + 4\times 10 = 43$.
Étape 3 — appliquer la formule :
Donc $S = 253$.
Une ville compte $50,000$ habitants en 2024. Chaque année, on estime que la population diminue de $5%$ (départs) mais que $1,500$ nouveaux habitants s'installent. On note $u_n$ le nombre d'habitants l'année $2024 + n$, donc $u_0 = 50,000$.
Justifier que pour tout entier $n$, $u_{n+1} = 0{,}95,u_n + 1,500$. Calculer $u_1$.
Partons de la population de l'année $n$, c'est-à-dire $u_n$. Pour obtenir la population de l'année suivante $u_{n+1}$ :
La diminution de $5%$. Diminuer de $5%$, c'est multiplier par $\left(1 - \dfrac{5}{100}\right) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$. C'est le coefficient multiplicateur d'une baisse de $5%$. Donc après les départs, il reste $0{,}95,u_n$ habitants.
L'ajout de $1,500$ nouveaux. Ensuite $1,500$ personnes s'installent, donc on ajoute $1,500$.
En combinant les deux :
C'est bien la relation demandée.
Calcul de $u_1$ (population en 2025) :
(Le calcul $0{,}95 \times 50,000$ se fait sans calculatrice : $0{,}95 \times 50,000 = 50,000 - 0{,}05\times 50,000 = 50,000 - 2,500 = 47,500$.)
$u_1 = 49,000$ habitants.
On pose $v_n = u_n - 30,000$. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique : préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
C'est LA question type. La méthode est toujours la même : pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, on calcule $v_{n+1}$ et on essaie de le mettre sous la forme $q \times v_n$.
On part de la définition : $v_{n+1} = u_{n+1} - 30,000$.
On remplace $u_{n+1}$ par son expression de la question 1 :
Maintenant l'astuce : il faut faire apparaître $v_n = u_n - 30,000$, donc faire apparaître $0{,}95 \times (u_n - 30,000)$. On factorise par $0{,}95$. Pour cela, on vérifie : $0{,}95 \times 30,000 = 28,500$. C'est exactement le nombre qu'on a ! Donc :
Or $u_n - 30,000 = v_n$. On obtient donc :
C'est bien la forme $v_{n+1} = q \times v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}95$.
Premier terme :
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$(v_n)$ étant géométrique de premier terme $v_0 = 20,000$ et de raison $q = 0{,}95$, sa formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$ :
Pour revenir à $u_n$ : on avait posé $v_n = u_n - 30,000$, donc en ajoutant $30,000$ des deux côtés, $u_n = v_n + 30,000$. On remplace :
C'est la raison d'être de la suite auxiliaire : on ne savait pas exprimer $u_n$ directement (à cause du « $+1,500$ »), mais en passant par $v_n$ (qui est une simple géométrique), on y arrive.
Vérification rapide avec $u_0$ : $u_0 = 20,000 \times 0{,}95^0 + 30,000 = 20,000 \times 1 + 30,000 = 50,000$ ✓ (car $0{,}95^0 = 1$).
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte.
On regarde le comportement de $u_n = 20,000 \times 0{,}95^{,n} + 30,000$ quand $n$ devient très grand.
Le terme important est $0{,}95^{,n}$. La raison $0{,}95$ est un nombre strictement compris entre $0$ et $1$ ($0 < 0{,}95 < 1$). Or, quand on multiplie un nombre par lui-même de plus en plus de fois et qu'il est inférieur à $1$, le résultat tend vers $0$. Autrement dit :
Donc le terme $20,000 \times 0{,}95^{,n}$ tend vers $20,000 \times 0 = 0$, et il reste :
La limite de $(u_n)$ est $30,000$.
Interprétation : à très long terme, la population de la ville va se stabiliser autour de $30,000$ habitants. Les départs (−5 %) et les arrivées (+1 500) finissent par s'équilibrer exactement à ce niveau. La ville perd des habitants au fil du temps (elle part de 50 000) mais ne descendra pas en dessous de 30 000.
Un créateur de contenu possède $8,000$ abonnés. On estime que son nombre d'abonnés augmente de $12%$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois, avec $u_0 = 8,000$.
def seuil():
u = 8000
n = 0
while u <= 20000:
u = ......
n = n + 1
return nJustifier que $(u_n)$ est une suite géométrique et donner sa raison.
« Augmenter de $12%$ » revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $\left(1 + \dfrac{12}{100}\right) = 1 + 0{,}12 = 1{,}12$. Donc, pour passer d'un mois au suivant :
On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $1{,}12$ : c'est la définition d'une suite géométrique de raison $q = 1{,}12$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Formule explicite d'une géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$, avec $u_0 = 8,000$ et $q = 1{,}12$ :
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Une suite est croissante si chaque terme est plus grand que le précédent, c'est-à-dire si $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ (ou de façon équivalente $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$).
Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$. On sait que $u_{n+1} = 1{,}12,u_n$, donc :
Maintenant on étudie le signe de $0{,}12,u_n$ :
Le produit de deux nombres positifs est positif, donc $u_{n+1} - u_n = 0{,}12,u_n > 0$. Cela prouve que $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
(C'est logique : un nombre d'abonnés qui augmente de 12 % chaque mois ne peut que grandir.)
Compléter le programme Python et expliquer ce qu'il renvoie.
Comprendre le programme. On part de u = 8000 (le nombre initial d'abonnés) et n = 0 (le compteur de mois). La boucle while u <= 20000: signifie « tant que le nombre d'abonnés n'a pas dépassé $20,000$, on continue ». À chaque tour de boucle, il faut :
u au mois suivant, c'est-à-dire le multiplier par la raison $1{,}12$ ;n de $1$ (déjà écrit : n = n + 1).La ligne à compléter est donc celle qui fait évoluer u. Comme $u_{n+1} = 1{,}12 \times u_n$, on écrit :
def seuil():
u = 8000
n = 0
while u <= 20000:
u = u * 1.12 # on applique la hausse de 12 %
n = n + 1
return nCe que renvoie le programme. La boucle tourne et multiplie u par $1{,}12$ à chaque mois, en comptant les mois dans n. Dès que u dépasse $20,000$, la condition u <= 20000 devient fausse, la boucle s'arrête, et le programme renvoie la valeur de n.
n contient alors le nombre de mois nécessaires pour que le nombre d'abonnés dépasse $20,000$. (Le programme renvoie $9$ : il faut $9$ mois pour franchir ce cap.)
⚠️ Subtilité sur la condition : on a mis while u <= 20000, donc la boucle continue tant que u est inférieur ou égal à $20,000$, et s'arrête au premier moment où u est strictement supérieur à $20,000$. C'est bien ce qu'on veut pour « dépasser ».
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
Calculer $f'(x)$.
On dérive terme à terme, en utilisant la règle de base : la dérivée de $x^n$ est $n,x^{n-1}$.
On additionne :
Montrer que $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$, puis étudier le signe de $f'(x)$.
Première étape : la factorisation. On part de $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$. On remarque que tous les coefficients sont divisibles par $3$, donc on factorise par $3$ :
Il reste à factoriser le trinôme $x^2 - 4x + 3$. On cherche ses racines avec le discriminant : $a=1$, $b=-4$, $c=3$, donc $\Delta = (-4)^2 - 4\times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$. Comme $\sqrt 4 = 2$ :
Donc $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$, et finalement :
C'est bien l'expression demandée. ✓
Deuxième étape : le signe de $f'(x)$. $f'(x)$ est un produit. Le facteur $3$ est positif et n'influence pas le signe. Il reste à étudier le signe de $(x-1)(x-3)$ : c'est un trinôme de racines $1$ et $3$ avec un coefficient dominant positif, donc positif à l'extérieur des racines, négatif entre les deux.
| Intervalle | $]-\infty;1[$ | $]1;3[$ | $]3;+\infty[$ |
|---|---|---|---|
| Signe de $f'(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ |
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Le lien fondamental du cours : le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$.
D'après le tableau de signes de $f'$ (question 2) :
Pour le tableau, on calcule les valeurs de $f$ aux abscisses charnières $1$ et $3$ :
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| Variations de $f$ | ↗ | $5$ | ↘ | $1$ | ↗ |
Lecture : $f$ monte jusqu'à la valeur $5$ (atteinte en $x=1$), redescend jusqu'à $1$ (atteinte en $x=3$), puis remonte.
Préciser les valeurs des extremums locaux de $f$.
Un extremum local est un point où la fonction change de sens de variation : la dérivée s'y annule en changeant de signe.
Conclusion : $f$ admet un maximum local égal à $5$ (en $x=1$) et un minimum local égal à $1$ (en $x=3$).
On précise « local » car ce ne sont pas les valeurs maximales/minimales sur tout $\mathbb{R}$ : comme $f$ est un polynôme de degré 3, elle tend vers $+\infty$ et $-\infty$ aux bornes, donc il n'y a pas d'extremum global.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
Formule de la tangente au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici $a = 0$.
On calcule les deux ingrédients :
On remplace dans la formule avec $a = 0$ :
L'équation de la tangente est $y = 9x + 1$.
Soit $f$ la fonction définie par :
Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
$f$ est un quotient. Un quotient n'existe que si son dénominateur n'est pas nul (on ne divise jamais par $0$). On cherche donc la valeur interdite :
La valeur $x = 1$ est interdite, toutes les autres sont permises. L'ensemble de définition est donc $\mathbb{R}$ privé de $1$ :
Calculer $f'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient.
La formule de dérivation d'un quotient $\dfrac{u}{v}$ est :
Attention à l'ordre au numérateur : c'est $u'v - uv'$ (et pas $uv' - u'v$). L'inversion de l'ordre est l'erreur n°1 sur les quotients.
On identifie le « haut » $u$ et le « bas » $v$, puis on les dérive :
On applique la formule :
On développe le numérateur avec soin, surtout le signe « moins » devant $(2x+1)$ qui change les deux termes :
Les $2x$ se simplifient ($2x - 2x = 0$), il reste $-2 - 1 = -3$. Donc :
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$.
On étudie le signe de $f'(x) = \dfrac{-3}{(x-1)^2}$.
Le quotient d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif. Donc $f'(x) < 0$ sur tout l'ensemble de définition.
Conséquence sur les variations : comme $f'$ est négative, $f$ est décroissante sur $]-\infty,;,1[$ et décroissante sur $]1,;,+\infty[$.
⚠️ Point important : on dit que $f$ est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément, mais PAS « sur $\mathbb{R}\setminus{1}$ » d'un seul bloc. En effet, la fonction « saute » en franchissant $x=1$ (il y a une asymptote verticale), donc on ne peut pas relier les deux morceaux.
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $f'(x)$ | $-$ | $\Vert$ | $-$ | ||
| Variations de $f$ | ↘ | $\Vert$ | ↘ |
(La double barre $\Vert$ marque la valeur interdite $x=1$.)
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
Formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ avec $a = 0$.
Calcul de $f(0)$ :
Calcul de $f'(0)$, avec $f'(x) = \dfrac{-3}{(x-1)^2}$ :
(Bien noter $(-1)^2 = +1$ : un carré est toujours positif.)
On remplace dans la formule, $a=0$ :
L'équation de la tangente est $y = -3x - 1$.
Une entreprise produit et vend des articles. Lorsqu'elle produit $x$ centaines d'articles (avec $0 \leqslant x \leqslant 6$), son bénéfice, exprimé en milliers d'euros, est donné par :
Calculer $B'(x)$.
On dérive terme à terme :
Montrer que $B'(x) = -3(x-1)(x-5)$ et étudier son signe sur $[0,;,6]$.
Factorisation. Les coefficients de $B'(x) = -3x^2 + 18x - 15$ sont tous divisibles par $-3$. On factorise par $-3$ :
(Vérification du signe en factorisant : $-3 \times x^2 = -3x^2$ ✓, $-3 \times (-6x) = 18x$ ✓, $-3 \times 5 = -15$ ✓.)
On factorise $x^2 - 6x + 5$ : discriminant $\Delta = 36 - 20 = 16$, $\sqrt{16}=4$, racines $\frac{6-4}{2}=1$ et $\frac{6+4}{2}=5$. Donc $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$ et :
C'est bien l'expression demandée. ✓
Signe sur $[0;6]$. $B'(x)$ est un produit de trois facteurs : $-3$ (négatif), $(x-1)$ et $(x-5)$. Les racines $1$ et $5$ sont toutes deux dans $[0;6]$.
| Intervalle | $[0,;,1[$ | $]1,;,5[$ | $]5,;,6]$ |
|---|---|---|---|
| Signe de $-3$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| Signe de $x-1$ | $-$ | $+$ | $+$ |
| Signe de $x-5$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| Signe de $B'(x)$ | $-$ | $+$ | $-$ |
Détail de la dernière ligne : on multiplie les trois signes de chaque colonne.
Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0,;,6]$.
On traduit le signe de $B'$ en variations de $B$ (croissante quand $B'>0$, décroissante quand $B'<0$). On calcule aussi les valeurs aux abscisses $0$, $1$, $5$ et $6$ pour remplir le tableau :
| $x$ | $0$ | $1$ | $5$ | $6$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $B'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| Variations de $B$ | $50$ | ↘ | $43$ | ↗ | $75$ | ↘ | $68$ |
Lecture : $B$ décroît de $50$ à $43$, puis croît de $43$ jusqu'à $75$, puis redescend à $68$.
En déduire la production qui maximise le bénéfice et le montant de ce bénéfice maximal.
Il faut trouver la valeur de $B$ la plus grande sur tout l'intervalle $[0;6]$. On compare les valeurs « remarquables » du tableau (les extremums locaux et les bornes de l'intervalle, car le maximum pourrait être à un bord) :
La plus grande valeur est $\mathbf{75}$, atteinte en $x = 5$.
Conclusion : le bénéfice est maximal pour une production de $x = 5$ centaines d'articles, soit $500$ articles, et le bénéfice maximal vaut $75$ milliers d'euros, c'est-à-dire $75,000$ €.
Remarque de méthode : on n'oublie jamais de comparer aussi les bornes ($x=0$ et $x=6$). Ici le maximum tombe sur l'extremum local $x=5$, mais ce n'est pas toujours le cas — parfois le maximum est à un bord de l'intervalle.
Une usine fabrique des pièces avec deux machines. La machine $A$ produit $60%$ des pièces, la machine $B$ produit les $40%$ restants. Parmi les pièces produites par $A$, $3%$ sont défectueuses. Parmi celles produites par $B$, $5%$ sont défectueuses.
On prélève une pièce au hasard. On note :
Construire (décrire) l'arbre pondéré de cette situation.
Un arbre pondéré se lit de gauche à droite. Le premier niveau correspond au choix de la machine, le second niveau à l'état de la pièce (défectueuse $D$ ou non $\overline{D}$).
Les probabilités à placer sur les branches :
Description de l'arbre :
0,03 D (chemin A puis D)
0,60 ┌──────
A ────────┤
│ └────── D̄
│ 0,97
départ ┤
│ 0,05 D (chemin B puis D)
0,40 ┌──────
B ────────┤
└────── D̄
0,95Règle utile : sur chaque « groupe » de branches partant d'un même nœud, la somme des probabilités vaut $1$ ($0{,}03 + 0{,}97 = 1$ et $0{,}05 + 0{,}95 = 1$). Ça permet de vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur.
Calculer la probabilité que la pièce vienne de $A$ et soit défectueuse.
« Venir de $A$ et être défectueuse » correspond à l'événement $A \cap D$. Pour calculer la probabilité d'un chemin dans un arbre, on multiplie les probabilités rencontrées le long du chemin (règle du produit). Le chemin « $A$ puis $D$ » porte les probabilités $0{,}60$ puis $0{,}03$ :
$P(A \cap D) = 0{,}018$.
(Calcul de tête : $0{,}6 \times 0{,}03 = 0{,}6 \times 3 \div 100 = 1{,}8 \div 100 = 0{,}018$.)
Calculer la probabilité $P(D)$ que la pièce prélevée soit défectueuse.
Une pièce défectueuse peut venir soit de $A$, soit de $B$. Il y a donc deux chemins qui mènent à $D$ : « $A$ puis $D$ » et « $B$ puis $D$ ». La formule des probabilités totales dit qu'on additionne les probabilités de tous les chemins menant à $D$ :
On a déjà $P(A \cap D) = 0{,}018$ (question 2). On calcule l'autre chemin :
On additionne :
$P(D) = 0{,}038$, soit $3{,}8%$ des pièces défectueuses au total.
Une pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine $A$ ?
On cherche la probabilité de venir de $A$ sachant que la pièce est défectueuse : c'est la probabilité conditionnelle $P_D(A)$. Attention, ici on « renverse » le conditionnement (avant on savait la machine et on cherchait le défaut ; maintenant on sait le défaut et on cherche la machine).
La formule des probabilités conditionnelles est :
On remplace avec les valeurs des questions 2 et 3 :
Pour simplifier sans calculatrice, on multiplie haut et bas par $1,000$ pour enlever les virgules : $\dfrac{18}{38}$. On simplifie par $2$ :
La probabilité cherchée est $\dfrac{9}{19} \approx 0{,}47$.
Interprétation : parmi toutes les pièces défectueuses, environ $47%$ viennent de la machine $A$. C'est cohérent : même si $A$ est plus fiable (3 % de défauts contre 5 %), elle produit beaucoup plus de pièces (60 %), donc elle reste responsable d'une grande partie des défauts.
Dans un lycée, on interroge $200$ élèves sur deux activités : la pratique d'un sport et la pratique d'un instrument de musique. On sait que :
On choisit un élève au hasard. On note $S$ l'événement « l'élève pratique un sport » et $M$ « l'élève pratique un instrument de musique ».
Recopier et compléter le tableau croisé des effectifs.
On construit un tableau à double entrée : en lignes « Musique / Pas de musique », en colonnes « Sport / Pas de sport », avec les totaux. On part des données connues, puis on complète par soustraction.
On sait : total général $= 200$ ; total Sport $= 120$ ; total Musique $= 90$ ; case « Sport ET Musique » $= 50$.
On complète case par case :
| Sport | Pas de sport | Total | |
|---|---|---|---|
| Musique | $50$ | $40$ | $90$ |
| Pas de musique | $70$ | $40$ | $110$ |
| Total | $120$ | $80$ | $200$ |
Vérification : on contrôle que chaque ligne et chaque colonne « tombe juste ». Ligne Pas de musique : $70 + 40 = 110$ ✓. Colonne Pas de sport : $40 + 40 = 80$ ✓. Tout est cohérent.
Calculer $P(S)$ et $P(M)$.
Comme on choisit un élève au hasard parmi $200$ (situation d'équiprobabilité), une probabilité se calcule par $\dfrac{\text{effectif favorable}}{\text{effectif total}}$.
$P(S) = 0{,}6$ et $P(M) = 0{,}45$.
Calculer $P_S(M)$.
$P_S(M)$ est la probabilité de faire de la musique sachant qu'on fait du sport. « Sachant qu'on fait du sport » signifie qu'on se restreint à l'univers des sportifs uniquement : il y en a $120$. Parmi eux, combien font de la musique ? La case « Sport et Musique » indique $50$.
Donc :
(Simplification : $50$ et $120$ sont divisibles par $10$, ce qui donne $\frac{5}{12}$.)
$P_S(M) = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}42$.
On peut retrouver ce résultat avec la formule $P_S(M) = \dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} = \dfrac{50/200}{120/200} = \dfrac{50}{120}$ : c'est cohérent.
Les événements $S$ et $M$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.
Deux événements $S$ et $M$ sont indépendants si, et seulement si :
On calcule séparément les deux membres pour voir s'ils sont égaux.
Membre de gauche — $P(S \cap M)$, la probabilité de faire à la fois sport et musique. Il y a $50$ tels élèves sur $200$ :
Membre de droite — le produit $P(S) \times P(M)$, avec les valeurs de la question 2 :
Comparaison : $0{,}25 \neq 0{,}27$. Les deux membres ne sont pas égaux.
Conclusion : les événements $S$ et $M$ ne sont PAS indépendants. Concrètement, faire du sport modifie légèrement la probabilité de faire de la musique : il y a un lien (faible) entre les deux activités.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Calculer $f'(x)$.
La fonction $f$ est un produit de deux fonctions. On reconnaît la forme $u \times v$, donc on utilise la formule de dérivation d'un produit :
On pose :
| fonction | sa dérivée | |
|---|---|---|
| $u$ | $u(x) = x-2$ | $u'(x) = 1$ |
| $v$ | $v(x) = e^x$ | $v'(x) = e^x$ |
Rappel essentiel : la dérivée de $e^x$ est $e^x$. C'est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle, elle est égale à sa propre dérivée.
On applique la formule :
On met maintenant $e^x$ en facteur (il apparaît dans les deux termes) :
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
On veut connaître le signe de $f'(x) = (x-1),e^x$. C'est un produit de deux facteurs : $(x-1)$ et $e^x$.
Point clé à retenir absolument : la fonction exponentielle est toujours strictement positive. Pour tout réel $x$, on a $e^x > 0$. Toujours. Il n'y a aucune exception.
Conséquence : le signe de $f'(x)$ ne dépend QUE du signe de l'autre facteur, $(x-1)$, puisque $e^x$ est positif et ne change jamais le signe du produit.
Étudions donc le signe de $(x-1)$, qui est une expression du premier degré :
On calcule la valeur du minimum, atteint en $x = 1$ :
Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de $e^x$ | $+$ | $+$ | $+$ | ||
| signe de $(x-1)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| signe de $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| variations de $f$ | $\searrow$ | $-e$ | $\nearrow$ |
La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty,;,1]$, atteint un minimum de $-e$ en $x=1$, puis est croissante sur $[1,;,+\infty[$.
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
La formule de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est :
Ici $a = 0$. Il nous faut donc deux valeurs : $f(0)$ et $f'(0)$.
Calcul de $f(0)$ (on utilise l'expression de $f$) :
(Rappel : $e^0 = 1$.)
Calcul de $f'(0)$ (on utilise l'expression de $f'$ trouvée à la question 1) :
On remplace dans la formule avec $a=0$ :
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = (x^2 - x - 2),e^x$.
C'est à nouveau un produit $u \times v$. On applique $(u,v)' = u',v + u,v'$.
| fonction | sa dérivée | |
|---|---|---|
| $u$ | $u(x) = x^2 - 3x + 1$ | $u'(x) = 2x - 3$ |
| $v$ | $v(x) = e^x$ | $v'(x) = e^x$ |
Pour $u'(x)$ : la dérivée de $x^2$ est $2x$, la dérivée de $-3x$ est $-3$, la dérivée de la constante $1$ est $0$. D'où $u'(x) = 2x - 3$.
On applique la formule :
On met $e^x$ en facteur :
On simplifie l'intérieur du crochet en regroupant les termes semblables :
Donc le crochet vaut $x^2 - x - 2$, et :
C'est bien ce qu'il fallait montrer.
Factoriser $x^2 - x - 2$, puis étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : factoriser $x^2 - x - 2$.
C'est un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=-1$, $c=-2$. On calcule le discriminant :
$\Delta = 9 > 0$ : il y a deux racines réelles distinctes. Comme $\sqrt{\Delta} = \sqrt 9 = 3$ :
La forme factorisée d'un trinôme est $a(x-x_1)(x-x_2)$, ici avec $a=1$ :
(Vérification rapide en développant : $(x+1)(x-2) = x^2 -2x + x - 2 = x^2 - x - 2$. C'est correct.)
Étape 2 : signe de $f'(x)$.
On a maintenant :
C'est un produit de trois facteurs. Comme toujours, $e^x > 0$ pour tout $x$, donc $e^x$ n'influence jamais le signe. Le signe de $f'(x)$ est donc celui du produit $(x+1)(x-2)$.
On fait un tableau de signes. Les facteurs s'annulent en $x=-1$ et $x=2$ :
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $;$ | $+$ | ||
| $x-2$ | $-$ | $;$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $e^x$ | $+$ | $;$ | $+$ | $;$ | $+$ | ||
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Donc : $f'(x) > 0$ sur $]-\infty,;,-1[$, $f'(x) < 0$ sur $]-1,;,2[$, et $f'(x) > 0$ sur $]2,;,+\infty[$.
Dresser le tableau de variations de $f$. On précisera les valeurs exactes des extremums locaux.
D'après le signe de $f'$ trouvé à la question 2 :
$f$ change de sens en $x=-1$ (de croissante à décroissante) : c'est un maximum local. $f$ change de sens en $x=2$ (de décroissante à croissante) : c'est un minimum local.
On calcule les valeurs exactes de ces extremums avec l'expression de $f$.
Maximum local en $x = -1$ :
Minimum local en $x = 2$ :
Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | $\nearrow$ | $\dfrac{5}{e}$ | $\searrow$ | $-e^2$ | $\nearrow$ |
La fonction croît jusqu'à un maximum local de $\dfrac{5}{e}$ en $x=-1$, redescend jusqu'à un minimum local de $-e^2$ en $x=2$, puis croît à nouveau.
Dans une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard une boule dans une urne contenant $10$ boules indiscernables au toucher :
Pour jouer, il faut d'abord payer une mise de $2$ €. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le gain net d'un joueur (c'est-à-dire le gain de la boule tirée, moins les $2$ € de la mise).
Déterminer les valeurs possibles de $X$, puis donner sa loi de probabilité sous forme de tableau.
$X$ est le gain net = (ce que rapporte la boule) $-$ ($2$ € de mise). On regarde chaque couleur.
Les valeurs possibles de $X$ sont donc : $;3;$, $;-1;$ et $;-2$.
Maintenant les probabilités. Comme les boules sont indiscernables, chaque boule a la même chance d'être tirée. La probabilité d'une couleur est :
Loi de probabilité de $X$ :
| valeur $x_i$ | $-2$ | $-1$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $\dfrac{5}{10}$ | $\dfrac{2}{10}$ | $\dfrac{3}{10}$ |
Vérification indispensable : la somme des probabilités doit faire $1$.
Calculer l'espérance $E(X)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
L'espérance d'une variable aléatoire se calcule en multipliant chaque valeur par sa probabilité, puis en additionnant tout :
Concrètement, l'espérance représente le gain moyen par partie si on jouait un très grand nombre de fois.
On calcule chaque terme :
Interprétation : l'espérance est négative. En moyenne, le joueur perd $0{,}30$ € par partie. Le jeu n'est donc pas favorable au joueur — il est favorable à l'organisateur (ce qui est normal pour une fête foraine). On dit que le jeu est défavorable au joueur.
Quelle devrait être la mise pour que le jeu soit équitable ?
Un jeu est dit équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle : $E(X) = 0$. Cela signifie qu'en moyenne, sur le long terme, le joueur ne gagne ni ne perd d'argent.
Méthode. Notons $m$ la mise cherchée. Le gain net devient (gain de la boule) $- , m$. Mais il y a plus simple : on raisonne sur le gain brut moyen (sans la mise).
Le gain brut (ce que rapporte la boule, avant de retirer la mise) prend les valeurs $5$, $1$, $0$. Son espérance est :
En moyenne, une partie rapporte donc $1{,}70$ € de gain brut.
Pour que le jeu soit équitable, la mise doit être exactement égale à ce gain brut moyen : ainsi, en moyenne, ce qu'on paie est compensé exactement par ce qu'on gagne.
Vérification : avec une mise de $1{,}70$ €, l'espérance du gain net serait $E(\text{gain brut}) - 1{,}70 = 1{,}70 - 1{,}70 = 0$. Le jeu est bien équitable.
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
| valeur $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0{,}1$ | $0{,}4$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ |
Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
Pour que le tableau définisse une loi de probabilité, deux conditions doivent être remplies :
Condition 1 : les valeurs $0{,}1$ ; $0{,}4$ ; $0{,}3$ ; $0{,}2$ sont toutes bien comprises entre $0$ et $1$. ✓
Condition 2 : on additionne.
Les deux conditions sont vérifiées : c'est bien une loi de probabilité.
Calculer l'espérance $E(X)$.
On applique la formule de l'espérance, $E(X) = \sum x_i,P(X=x_i)$ :
On calcule chaque terme :
En moyenne, $X$ vaut $1{,}6$.
Calculer la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$. On donnera la valeur exacte de l'écart-type.
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. La formule la plus pratique pour la calculer (dite formule de König-Huygens) est :
Il faut donc d'abord calculer $E(X^2)$, l'espérance des carrés des valeurs. On reprend chaque valeur, on l'élève au carré, on multiplie par sa probabilité :
Donc $E(X^2) = 3{,}4$.
On connaît $E(X) = 1{,}6$ (question 2), donc $\big(E(X)\big)^2 = 1{,}6^2 = 2{,}56$.
On applique la formule de la variance :
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
Pour donner la valeur exacte, on transforme $0{,}84$ en fraction : $0{,}84 = \dfrac{84}{100} = \dfrac{21}{25}$. Donc :
(La valeur exacte demandée est $\dfrac{\sqrt{21}}{5}$ ; la valeur approchée $0{,}92$ n'est là que pour donner un ordre de grandeur.)
On place un capital de $1000$ euros sur un compte rémunéré à un taux d'intérêt de $3,%$ par an. Chaque année, le capital est donc multiplié par $1{,}03$.
On souhaite savoir au bout de combien d'années le capital aura dépassé $1500$ euros.
On considère la fonction Python suivante, dans laquelle certaines parties ont été remplacées par des pointillés :
def seuil():
u = 1000
n = 0
while u < ........ :
u = ........
n = n + 1
return nQuestion 1. Recopier et compléter les deux lignes de pointillés pour que la fonction réponde au problème posé.
Question 2. Faire tourner l'algorithme « à la main » en complétant un tableau de valeurs, et déterminer la valeur renvoyée par seuil().
Question 3. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
Recopier et compléter les deux lignes de pointillés pour que la fonction réponde au problème posé.
Reprenons d'abord ce que fait chaque ligne, calmement, parce que c'est tout l'enjeu de l'exercice.
La variable u représente le capital. On l'initialise à 1000, ce qui correspond bien au capital de départ.
La variable n représente le nombre d'années écoulées. On l'initialise à 0, car au tout début, aucune année ne s'est encore écoulée.
La ligne while u < ........ : est une boucle « tant que ». Le principe : tant que la condition écrite après while est vraie, on répète les instructions situées en dessous (celles qui sont indentées, c'est-à-dire décalées vers la droite). Dès que la condition devient fausse, on sort de la boucle.
Ici, on veut continuer à faire passer les années tant que le capital n'a pas encore dépassé 1500 euros. La condition « le capital n'a pas encore atteint l'objectif » s'écrit donc :
C'est ce qu'on met à la place des premiers pointillés.
À l'intérieur de la boucle, il y a deux instructions. La deuxième, n = n + 1, augmente le compteur d'années de 1 à chaque passage : c'est déjà écrit, on n'y touche pas. La première, u = ........, doit mettre à jour le capital pour une année supplémentaire.
Le capital est multiplié par $1{,}03$ chaque année (augmentation de $3,%$). La nouvelle valeur de u est donc l'ancienne valeur multipliée par $1{,}03$. En Python, on écrit :
Attention au point important : en programmation, u = u * 1.03 ne signifie pas « u est égal à u fois 1,03 » (ce qui serait absurde mathématiquement). Le signe = est une affectation : on calcule d'abord la valeur de droite (u * 1.03) avec l'ancienne valeur de u, puis on range le résultat dans u, qui prend donc sa nouvelle valeur.
La fonction complétée est donc :
def seuil():
u = 1000
n = 0
while u < 1500 :
u = u * 1.03
n = n + 1
return nFaire tourner l'algorithme « à la main » en complétant un tableau de valeurs, et déterminer la valeur renvoyée par
seuil().
« Faire tourner à la main » signifie qu'on se met à la place de l'ordinateur : on note les valeurs successives de chaque variable, étape par étape, en suivant exactement les instructions.
Au départ (avant d'entrer dans la boucle) : $u = 1000$ et $n = 0$.
À chaque tour de boucle, on vérifie d'abord si $u < 1500$. Si oui, on multiplie $u$ par $1{,}03$ et on ajoute $1$ à $n$. On répète. Je détaille les multiplications par $1{,}03$ (multiplier par $1{,}03$, c'est ajouter $3,%$, donc ajouter trois centièmes de la valeur).
| Tour | $u$ en début de tour | $u<1500$ ? | $u$ après $\times 1{,}03$ | $n$ après |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $1000$ | oui | $1030$ | $1$ |
| 2 | $1030$ | oui | $1060{,}90$ | $2$ |
| 3 | $1060{,}90$ | oui | $1092{,}73$ | $3$ |
| 4 | $1092{,}73$ | oui | $1125{,}51$ | $4$ |
| 5 | $1125{,}51$ | oui | $1159{,}27$ | $5$ |
| 6 | $1159{,}27$ | oui | $1194{,}05$ | $6$ |
| 7 | $1194{,}05$ | oui | $1229{,}87$ | $7$ |
| 8 | $1229{,}87$ | oui | $1266{,}77$ | $8$ |
| 9 | $1266{,}77$ | oui | $1304{,}77$ | $9$ |
| 10 | $1304{,}77$ | oui | $1343{,}92$ | $10$ |
| 11 | $1343{,}92$ | oui | $1384{,}23$ | $11$ |
| 12 | $1384{,}23$ | oui | $1425{,}76$ | $12$ |
| 13 | $1425{,}76$ | oui | $1468{,}53$ | $13$ |
| 14 | $1468{,}53$ | oui | $1512{,}59$ | $14$ |
| 15 | $1512{,}59$ | non | — | — |
Détaillons les valeurs arrondies du tableau (les calculs sont faits